Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V =r^2*pi*m!
A bizonyítás gondolatmenete:
Írjunk gondolatban az r sugarú, m magasságú hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszámú szabályos sokszög alapú hasábokat [magasságuk m]. A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A szabályos sokszög alapú hasábok térfogata az “alapterület * magasság” összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. Így az azonos oldalszám köré – és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^2*pi, a kör területe. Így akármilyen nagy oldalszámra is a köré – és beírt hasábok térfogata közé esik az (r^2*pi*m) érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha az r sugarú m magasságú henger térfogata V =r^2*pi*m.
Írjunk gondolatban az r sugarú, m magasságú hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszámú szabályos sokszög alapú hasábokat [magasságuk m]. A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A szabályos sokszög alapú hasábok térfogata az “alapterület * magasság” összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. Így az azonos oldalszám köré – és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^2*pi, a kör területe. Így akármilyen nagy oldalszámra is a köré – és beírt hasábok térfogata közé esik az (r^2*pi*m) érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha az r sugarú m magasságú henger térfogata V =r^2*pi*m.
0 megjegyzés:
Megjegyzés küldése