Egy számtani sorozat első eleme a1, különbsége d. Bizonyítsa be, hogy an =a1 +(n -1)*d és sn =n*a1 +an /2!

Egy számtani sorozat első eleme a1, különbsége d.
Bizonyítsa be, hogy an =a1 +(n -1)*d és sn =n*a1 +an /2!

A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben [a másodiktól kezdve] bármelyik elem és a közvetlen előtte álló elem különbsége állandó. a sorozat n -edik tagja: an =a1 +(n -1)*d , mivel a1-től (n -1) lépésben jutunk el an-ig, és mindegyik lépésben d -t adunk az előző taghoz.

sn =a1 +a2 +… +an.

Az egyes tagokat a1 segítségével fölírva: sn =a1 +(a1 +d) +(a1 +2*d) +… +a1 +(n -2) -d +a1 +(n -1)*d.

Az összeget (an segítségével) fordított sorrendben is felírjuk:

sn =an +(an -d) +(an -2*d) +… +an -(n -2)*d +an -(n -1)*d.

A két összegben a d-t tartalmazó tagok páronként egymásnak ellentettjei.

Az egyenlőségek megfelelő oldalait összeadva a d-t tartalmazó tagok rendre kiesnek:

2sn =a1 +an +a1 +an +… +a1 +an =n*(a1 +an). Így: sn =n*(a1 +an) /2.