Azonosságok

A B valós számok,,, pozitív egészek.

Bizonyítása:

Az -ből  darab szorzótényezőt veszünk, s az asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az szorzótényezőket, és a  szorzótényezőket egymás mellé írva n darab  szorzótényező, és  darab szorzótényező van. Az  darab  szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy , a  darab  szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy , tehát ez az azonosság azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre.

A bizonyítás során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt, hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát is.

 az azt jelenti, hogy  [-szer ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet elvégzése után] a számlálóban  darab szorzótényező van, amely  formában is felírható, a nevezőben darab  szorzótényező van, amely  formában írható.

Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a hányadosát vesszük.

Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük a közös kitevőre.

 bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás asszociativitását használjuk fel.

Ez az azonosság azt jelenti, hogy az -t -szor szorozzuk össze:  [-szor] Az -t felírhatjuk úgy is: . Tehát, összesen -szor van ilyen csoportunk, tehát darab -t szorzunk össze: 

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.

Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre.

Igazoljuk a következő azonosságokat:

A. n`(a*b) =n`a*n`b
B. n`(a /b) =n`a /n`b
C. (k`a)^n =k`(a^n)

A hatványozás-gyökvonás, gyökvonás-szorzás, és a gyökvonás-osztás művelete megcserélhető.

A.
Az állítás igaz, ha n>1 [egész szám].
Páros n-re: A, és B egyaránt nem negatív szám.
Páratlan n-re: A, és b tetszőleges valós számok.
Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt.

Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal oldalán álló (n`(a*b))^n az egyenlő (a*b)-vel.
((n`a)*(n`b))^n =(n`a)^n*(n`b)^n [szorzat hatványára vonatkozó azonosság miatt] =a*b
Páratlan n-re: ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a két oldal is azonos.
Páros n-re: amikor mindkét oldal “értelmes” [vagyis nem negatív], akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak következik a két oldal egyenlősége. Ez csak akkor nem igaz, ha páros a gyökkitevő, és A, vagy b értéke negatív, s ekkor az egyik oldalnak nincs értele.

B.
Az állítás igaz akkor, ha n >1 [egész szám].
Páros N esetén: A nem negatív valós szám, B pozitív valós szám
Páratlan N esetén: A tetszőleges valós szám, B nullával nem egyenlő valós szám. [Mert nevezőben nem állhat 0]
Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk gyököt, hogy a számlálóból, és a nevezőből is gyököt vonunk, és a kapott két mennyiséget [a bal oldal felírási sorrendjében] elosztjuk egymással.

Bizonyítása: felhasználjuk, hogy törteket úgy hatványozunk, hogy a számlálót, és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük, valamint felhasználjuk a gyök fogalmának definícióját. A bal oldalon álló (n`(a /b))-nek az n-edik hatványát véve (a/b)-t kapunk, míg a jobb oldal n-edik hatványa: ({n`a/n`b})^n. Külön a számláló, és nevező n-edik hatványát véve ({n`a^n /n`b^n} =a /b)-t kapunk.
Páratlan N esetén tetszőleges számokra igaz ez, páros N esetén pedig akkor, ha mindkét oldalon nem negatív szám áll a gyökjel alatt.

C.
Az állítás igaz, ha k >=1 [egész szám], n =>1 [egész szám].
Páratlan k esetén az A tetszőleges valós szám lehet, páros k esetén pedig nem negatív valós szám. [Gyökjel alatt nem állhat negatív szám!]

Az azonosság kimondja, hogy a hatványozás, és a gyökvonás sorrendje felcserélhető egymással. Másképpen: gyökmennyiséget úgy hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a kívánt kitevőre.

Bizonyítása: k`(a^n) írható úgy: k`(a*a*a*a*… [n darab szorzótényezővel]) =k`a*k`a*k`a*… [N darab szorzótényezővel], mely írható úgy, hogy: (k`a)^n. Az azonosságokat fordított irányba is olvashatjuk, visszafelé is igazak.

Igazoljuk a következő azonosságokat:

A. logA (x*y) =logA x +logA y
B. logA (x /y) =logA x -logA y
C. logA (x^k) =k*logA x

Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra, ill. k-ra?
A.
Az állítás igaz, ha x >0, y >0 [amire vonatkozik a logaritmus], az A >0 [alap], mely nem lehet egyenlő 1-gyel.

Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat adott alapú logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú logaritmusainak összegével.

Bizonyítása: A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy a logaritmus függvény szigorúan monoton.

Írjuk fel az x-et, és az y-t A hatványaként!

x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y

Ezt a jelölést alkalmazzuk a bizonyítandó egyenlőség bal oldalára, majd felhasználjuk azt, hogy egyenlő alapú hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.] =u +v logA (x*y) =logA (a^u*a^v) =logA (a^(u +v)) [Egyenlő alapú
hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevők összegét vesszük]
logA x +logA y =u +v
A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.
logA (x*y) =logA x +logA y

Kikötés: x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel.

B.
Az állítás igaz, ha x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel. Az azonosság azt mondja ki, hogy hányados adott alapú logaritmusa megegyezik a számláló, és a nevező ugyanilyen alapú logaritmusának különbségével.

Bizonyítása: felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és a logaritmus függvény szigorúan monoton.
x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y
logA (x /y) =logA ({a^u /a^v}) =logA (a^(u -v)) =u -v
logA x -logA y =u -v

C.
Az állítás igaz akkor, ha x >0, k valós, és az A >0, de nem egyenlő 1-gyel.

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatvány adott alapú logaritmusa megegyezik a hatvány a hatvány adott alapú logaritmusának, és a hatvány kitevőnek a szorzatával.

A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és logaritmus függvény szigorúan monoton:
x =a^u
u =logA x

A bizonyítandó egyenlőség bal oldala [felhasználva, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevő szorzatára emeljük] így írható: logA (x^k) =logA ((a^u)^k) =logA (a^(u*k)) =u*k
A jobb oldala: k*logA x =k*u

A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.

A logaritmus alkalmazások alkalmazása megváltoztatja a logaritmikus kifejezések értelmezési tartományát. A felírás sorrendjében olvasva szűkíti, vagy szűkítheti azokat. Az egyenletek megoldásakor gyakran alkalmazzuk a fenti [A, B, C] azonosságokat fordított irányba olvasva is. A logaritmikus egyenletek megoldásakor többnyire bővül az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya. Hamis gyökök föllépését elkerülhetjük, ha az azonosságok alkalmazása előtt kikötjük a szükséges megszorításokat, és a megoldáskor kapott eredményeket ezekkel összevetjük. Ezt helyettesíthetjük a gyökök ellenőrzésével.

Fejezze ki sin(alfa -béta) ill. cos(alfa -béta) értékét a sin(alfa +béta), ill. cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében!

Érvényesek a következő összefüggések:
sin(alfa -béta) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*sin(béta) és
(cos(alfa -béta) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta)).

Bizonyítása:

Tudjuk, hogy
sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és
cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta).

Írjunk béta helyébe (-bétát), majd használjuk fel, hogy
sin(-béta) = -sin(béta) és cos(-béta) =cos(béta).
Sin(alfa +(-béta)) =sin(alfa)*cos((-béta)) +cos(alfa)*sin((-béta)) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*cos(béta).

Ezzel állításunkat igazoltuk.

Cos(alfa +(-béta)) =cos(alfa)*cos((-béta)) -sin(alfa)*sin((-béta)) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta).
Ezzel állításunkat igazoltuk.